数学（FULL） - Oxford 通识读本线上阅读活动

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大家晚上好！欢迎收听新一期的翻转电台。我们这周继续介绍，就这周读本。那上次我们介绍了量子理论，里面应用了大量的数学知识，所以本周我们介绍的就是数学。

那么介绍数学的直接原因啊，肯定是因为我们之前不管在介绍尼采、福柯，还是海德格尔的时候呢，都有非常直接，也非常明显的针对理性，针对现代性的批判。那么针对理性与现代性的批判之中，又很大一部分是针对科学的批判。

那么这个地方批判，当然也不应该简简单单地理解为认为它不好啊。你批判可能其中带有很多分辨，再去分辨的意思。那么既然分辨科学与技术性，如果我们不懂得的话，怎么可能真正能够理解尼采、福柯以及海德格尔的意思呢？

那么正是因为这样的原因啊，我们之前开始介绍一些与科学相关的内容。那在量子理论之中，相信大家已经知道数学的威力啊。量子理论之所以可以发展，就是因为数学在里面起到了功不可没的作用。那么数学也是我们认为非常非常基础的知识，非常非常基础的一种构建于认识世界的方法。因此这周我们就来介绍一下数学这个话题。

当然听今天的内容呢，并不需要你有任何高深的数学知识。甚至我认为，如果你只有初中以上的数学知识，都应该完全能够听懂。第一方面，因为我自己的数学绝对不好啊，今天群里比我数学好的应该多的是。第二呢，我们今天的主题呢，其实也不是围绕介绍数学公理定理，以及掌握数学运算方法等等的。我们还是通过不同的例子，来了解数学是一种什么样的思维方式，这么的一个话题。所以我们马上开始。

那今天我们内容也非常多啊，我们内容分为五个部分。第一个部分呢，讲数学不好与数学建模。数学不好的意思就是说，我们大多数人一提到数学，第一个反应就是我数学不好。那我们要好好分辨一下，什么叫做我数学不好。那么以及通过数学建模的方式来看一下，什么叫数学好，如果说数学好大概指的是一个什么样的东西。

那第二部分介绍的是证明的数学与解释性。因为数学里面有一个核心部分就是数学证明，那我们透过证明的角度来看看数学到底在什么样的方式起作用。

那接着是讲非常重要的一部分，就是抽象。就数学我们都知道数学是抽象思维，这个抽象指的是什么意思？他与我们的感觉与具象世界与我们的直观构成了什么样的关系？我们分别通过数论、极限、无穷和多维空间，来看看数学的抽象是什么样的意思。

那今天的主线其实是要去对比数学的思维，以及对比数学与哲学思维，数学与日常思维有什么样的关系。来分辨一下，我们来看看数学是一种有什么样特点的思维模式，大概就是这样。所以我们马上进入第一部分，数学不好与数学建模。

那第四部分我们讲的是几何。因为几何可能是数学里面历史最悠久，也是可能跟我们的直接的感官与直接的直觉结合最紧密的一个因素。我们单独拿一部分来讲讲几何。

那最后一部分是讲估计、近似与数学与思，就是最后一部分我们讲估计与近似，并且回到对于数学思维方法的论证，和对于数学思维方法的描述上来。

那我们经常会一接触数学就说，我数学不好。可能面对英语的你也会说我英语不好。那么这两种不好指的是一种状态，或者讲的是一个对象。

那这里放了两个图，一个是一个数学公式，下面是一段英文。那这段英文摘自哈耶克的《感觉的秩序》，是一本著名的难读的英文书。

那我相信不同的人看到这上下两个图呢，都会有一样的感受啊。如果你不是英文特好，或数学特好呢，这上下两段话对你来讲，今天现在都不能理解。但这种不能理解，我还想继续分辨一下。也就是说上面这个图呢，你大概能看出啊，是一个里面包含了多元运算的一个算式，有你见过的π，有你见过的类似微积分的一些符号，这些是你认识的对吧？所以上面的数呢，什么三二四啊，减号啊，阔号啊，分号啊，你都认识。

但意思是说，虽然上面的符号你大概都认识，但符号合成起来，这个算式呢，你完全不明白。因此每次在阅读这样的数学，或者接触到这样公式的时候呢，你会认为我不好，因为这样的公式呢，你无法理解。

下面这个英文也一样。如果你有基本的英文知识呢，这些单词你应该都认识，这里面并没有什么很奇怪的单词。但是这样的单词呢，你会觉得他凑成一段话的时候呢，你完全无法理解。你不知道哈耶克到底讲的是什么意思。

但这里面有个非常重要的区别啊。如果你仅仅是不会单词呢，你大概查一查里面的一些单词就明白。或者这里面的句法你不通呢，比如下面两段话，你即使不结合前后段，你今天如果真正好好静下心来，花半个小时看这段话呢，它大概的意思你也能掌握。

但是对于上面的数学公式啊，假设现在就拿给我，给我半个小时时间，你就别半个小时了，就如果你缺乏其他材料，给我半个月，我也是不会知道他讲的是什么的。

所以说比起其他的，比如说如果我讲我钢琴不好，我英文不好，我数学不好。那比如说英文啊，钢琴啊，其他生活技能啊，其他以人类的自然语言为基础的知识，我大概都能知道。在这样的逻辑之下，我有一个路径去理解它。

那么翻过来来讲，从数学上呢，我们大多数人可能会认为他有比，比如说他比起哲学，比起学习钢琴或等等的，有更高的门槛。但我们为什么会产生这样的感觉呢？所以接下来我们来问一下以下这几个问题，这几个都是和数学有关的问题。从这个问题的递进关系，我们应该能看出，当我们讲我数学不好的时候，指的具体是一个什么样的意思。

比如说第一句话是：A商户满30-15，满60-35，请问买多少划算呢？我相信这个东西，只要有小学四年级以上数学的人都能看得出来。这也是现在大多电商网站的促销策略。这个促销策略我们大家都能理解，当然是满60-35要划算，因为比起每个单位的30块钱呢，前者只减了15元，而后者减了17.5元。因此从这个角度来讲了，后者是更划算的。对于大多数的数字对比和简单运算，我们每一个人都没有问题。而且在我们的日常生活，真正能接触到的数学运算的，也就是这样的运算。

因此之前比如说韩寒，在批判应试教育的时候，就有这样的数学无用论的说法。就认为我们在日常生活中，能够用到的数学呢，似乎小学数学就够了。那未来我们在初高中，甚至大学本科接受的数学教育，看起来仅仅是为了考试。因此在这个基础之上来讲，数学无用。

但是呢，我们大多数人在已经完全有能力应付这样的数学问题的基础之上，仍然认为自己数学不好。因此是怎么个不好法呢？我们可以来看里面的第二个题。这第二个题是说：估算一下北京有多少出租车？类似这样的题啊叫marketing sizing，就是市场的规模题。这个呢，是你进入大量咨询公司啊，或者等等公司最典型的一种这个题目。这个题目并不需要任何高等数学运算方法，基本上就是加减乘除。

在这样加减乘除的时候，为什么这样的题目比第一道题目会难呢？就是因为这种题目其实需要另外一种数学的思维。在第一个简单的关于优惠价格哪个更合算的运算里面呢，你已经明确的知道它就是一个除法运算，并且你能算到。

那第二个题在估算北京有多少出租车的时候呢，需要你自己来构建这个数学上的逻辑。也就是说那北京的出租车应该与北京的人口有关，应该与北京的人均打车数量，出租行业的市场总量等等有关。你大致还是需要一些数据的啊，你脑子里面有些常识性的数据，把这些常识性的数据构成一个连串的，不断求职的一个运算过程，最终得出北京有多少出租车。

例如你现在知道北京的总人口，以及北京每天打车的总量，你大概能估算出北京总人口里面选择打车的人口。你又知道打车的总量情况之下呢，你知道平均每人打车量，大概就是一两次啊，假设我们按1.5次算。如果你知道这几个数据呢，你就能得出大概估算出一个北京出租车的总量。这也是很多咨询公司要求你算这种题的基本的目的，就是看你能不能从常识之中得到一个数学的逻辑来进行运算。

那我们知道这样的逻辑啊，不管你是一个小企业主，甚至你开一个小商铺，等等的，这种数学逻辑都很重要。而这种逻辑已经有一部分人可能会感觉有点吃力了。没关系啊，我们今天之后的部分呢，并不需要你掌握这个逻辑才听得懂啊，我们只是在做分辨。因此我们能看到第二个对数学能力的运用和理解呢，跟第一个就不太一样。

那我们再来看第三个题。因为我们知道这两天正是NBA总决赛打得如火如荼的时候啊。那第三个题就是：NBA总决赛如何尽可能准确的计算球队获胜的概率？当然每个人心里，如果你关心这个球赛和比赛呢，你大概心里都有数，你认为哪方胜率高一点，有可能明显的或不太明显。但我们知道每一个博彩公司都有它的赔率，这个赔率算的相当精准。而我们知道每一个博彩公司呢，参与这个球赛的这个尽彩啊，上下几十亿美元，几百亿美元都是有可能的。因此他们对于获胜概率的运算应该非常精准，因为运算的结果与这种公司的实际利润呢，有最直接的关系。

所以说这样的问题，如果拿给我们普通人来算，准确的计算球队获胜的概率，你可能北京有多少出租车估算一下呢，心里还大致有数。但接触到这种第三个问题，面对如此系统的一个数学建模过程呢，我们就完全傻了。比如说对我来讲，第二个问题我可以答得头头是道，甚至第二个问题我还曾经就答过，但对于第三个问题呢，我是完全没有头绪，该怎么去算的。因此我们大多数人说我数学差呢，很可能就是面对第二个问题，甚至第三个这样的问题，我们其实缺乏理解，缺乏思路，甚至别人把它算出来东西给我们看呢，我们也看不明白。但是这种东西在我们生活中又如此重要，或者它可能你并不关心NBA呀，但你可能关心楼市，你关心股市，你关心你公司的运营状况，你关心你公司所在的行业的情况。面对所有这些情况呢，你感觉你缺乏利用数学把握它的能力。

所以我们可以把第三个问题再细节的拿出来看一下，让我们大家更能够理解讲的是大概什么一个意思。也就是说这样的问题在我们生活中并不陌生啊，这是一个很日常的一个话题。比如体育迷聚在一起聊天呢，很经常会聊这样的话题。如果在饭桌上聊一下呢，比如今天准备一下，你觉得谁会获胜的，你大概可以随口说出一个队的名字，都不太要负责的。

假设你要跟你的朋友打一个一百块钱的赌呢，有可能你就在随口说的基础之上呢，多看两眼，比如他们历史的胜率啊，比如这个赛季彼此的表现呢，你可能就有一个大致的观点啊。

那假设如果是你一个心仪的姑娘，跟你打这个赌啊，你猜中了就可以追到他呢，或者猜不中就完全不可能再见到他呢，那这个问题很可能的更严肃一些的，你就会找一些别的方法来做一个构建。那除了常规赛的胜率等等的，你可能要关注一下他们最近的表现，对吧？你可以看看最近的球员状态如何？那么这两个球队他们在过去比赛中交手的情况到底如何？伤病情况等等，你可能都纳入考虑。

我猜想啊，想到这样的情况并不会让你陌生。也就是说我们认为比赛结果是由球员最近的状态，历史的交手情况，球队的伤病情况，甚至教练的水平状态等等等等的因素构成的，就普通人想到这一步呢，并不复杂，甚至在你像你心仪的姑娘来做这个赌注的时候呢，你都可以关注到这些，并且在脑子里面给出一个大概的直观印象。比如说你一看最近的比赛，你都不用通过数据的运算，你大概知道，比如说骑士对最近的状态好一些，或者勇士对最近的状态好一些，可能判到这一步呢，也就够了。

但如果你要拿出一亿美元来做这个赌注的话呢，如果你不是一个赌性极强的人啊，你很可能就不能满足于我仅仅通过自己的表象，来看到了一个感觉性的结果。因此在这个时候呢，你就会认为我需要把更多的因素纳入考虑，甚至呢，我需要把这些因素量化才可能得出一个答案。

那一个最极端的情况呢，别人告诉你啊，你就猜，猜不中的话就要一枪打死你。那这种情况之下呢，你就要追求一个尽可能详细的答案。在这种尽可能详细的答案之下呢，你同时要考虑十多二十个要素，你就不可能仅仅通过自己的主观直观去把握得到它。如果你希望相信啊，你的预测准确点的话呢，你大致会认为我如果能算出一个结果的话，会好一些。但要算的话，我们大概能够怎么来算呢？

你看比如说举了一些例子，假设即使是一个最严肃的这个赌注啊，如果猜不中的话就会一枪打死你，你大概呢就会去想，那这个克里夫兰与奥克兰的人均GDP与这个比赛结果有关系吗？你可能会觉得没有关系。或者克里夫兰与奥克兰最近的天气与比赛有关系吗？你可能觉得有点关系啊，因为天气好像跟这个比赛虽然在球场的场馆内进行啊，似乎可能有点关系。那两市的市长是民主党还是共和党，你有关系吗？你可能觉得没有关系。那我们知道篮球跟足球啊，即使你不看你也大概知道，有主力有替补之分。那两个队呢，有替补端的莫习，比如说你们可能不知道是谁啊，就邓台琼斯与麦卡杜。那他们的最近表现你觉得很重要吗？你可能觉得不重要。但我反过来举个例子呢，就两对当家球星太太最近的状态呢，你可能觉得反过来可能比他们板凳末端球员最近的表现还要再重要一些。

所以说即使不用任何数学知识，我们普通人都能列举出很多的要素，并且对这些要素的重要性进行排序。这些是我们没有问题的啊，大概优先级从高到低排序，我们做得出来。但是难就难得再下一步，假设现在只有两个要素，一个是詹姆斯与库里，就分别是两个球队当家球星的状态，以及詹姆斯与库里太太最近的状态，假设我们只考虑这两个要素，那么我想请问加权求和大家大概知道，也就是说说简单一点，就是两个要素在重要性上各占百分之多少？对于普通人呢，你可能只能用脑子估一下，比如说球星发挥呢，占百分之八十，太太状态呢占百分之二十。那这个百分之八十百分之二十纯粹是拍脑门的，就如果生死攸关呢，你就会不满足于仅仅一个拍脑门的结论。你就要想，如何用数学对这个建模？是百分之六十七百分之二十三，还是百分之四十五百分之三十五，到底哪个合理呢？我如何去做一个运算？

那这还仅仅是两个要素啊，就算是一个要素，太太的状态，那我如何为一个人的精神状态做一个数学运算呢？类似这样的部分呢，就是远远超出普通人数学水平与普通人的能力的部分了。这是一个方面，也就是说透过这个方面，我们会发现数学一个非常重要的作用，也是所谓我们普通人认为我数学不好，不好的什么地方。也就是说将你日常生活中的一个要素纳入到数字的体系之下进行运算。我们只能对很少的东西做数字运算，比如说商品的价格等等的，但对于其他并不直观量化的东西呢，甚至是量化的东西，比如说股票与房地产，当它的要素过多的时候呢，都超出普通人的计算能力。

但这个里面还，但就这个例子，我还想讲一个重要的。也就是说克里夫兰与奥克兰的天气对比赛结果有没有影响？很可能有影响。但是在博彩公司的数学模型里面有没有考虑它呢？我认为很可能并没有考虑它。我们也知道任何数学模型的构建或者数学的运算都不是百分之百精确的。也就是说我们在考虑恒星和行星运动的时候呢，很可能，如果你们听过上一期量子理论，可能更熟一点啊，很可能并没有考虑宇宙背景辐射对于这个星球运算的星球运行的作用。它有没有影响肯定有，但我们认为的那个影响可能小到忽略不计。因此在构建公式的时候呢，我们并没有把它纳入计算。

所以说，数学是不是在真实、细致、全面的反映世界的所有状态呢？也不是。在这样的建模过程之中，数学并不是要用一个模型去完整真实的反映所有生活的细致末节，而是数学在针对目的得出一个有用的数学构建，这也是一个对数学很重要的一点啊，因为总有一种把数学神话的观点啊，就认为比如数字之中蕴含了宇宙终极奥秘啊，等等等等类似的观点啊，那今天我们探讨的肯定也不是这样的数学，而是现在更科学语境之下，更实践性的数学。

所以说数学与世界的接触方式啊，刨除日常的技术，比如说我买五个苹果和日常的价格符号，这个东西五十，那个东西六十，刨除这样东西，数学与世界最接触的方式，也是我们大多数人认为我们并不擅长的方式，就是将世界解释为一种数字关系。

那这个图上是大家最熟悉的，如果你对经济学有最基础的了解，你也知道就是供需曲线。就供需曲线把市场供应与市场的需求呢，解释为两个反向的曲线关系。那这个曲线的交叉点呢，称为供需平衡点，也就是企业需要算的这个点。那企业如果能算出供需平衡点呢，那这个点上就达到某种帕里托最优，那企业根据这个数量来进行商业运算呢，你就能得到最好的成果和最好的利润，营业额吧，利润还没有在这个图上反映出来，就能得到最大的营业额水平。

当然我们也知道这是一个理想模型，没有任何企业的生产预测啊，会根据供需曲线来算，因为供需曲线实在是太粗放了。供需曲线，如果哪个企业拿这个来算的话呢，估计最后赔的就赔光了，因为它并没有真实的反映市场情况，包括经济学新的流派呢，也在根本的反对有这样均衡存在的假设。

所以说我们也知道数学对于世界的构建，并不是说只要有这个模型，这个模型就一定有用。直到今天大量数学不管对金融市场，对于社会的构建呢，都是存在很大很大问题的。这也是数学模型运用的一个一个实际的情况。

但同样，我们生活中不仅仅在使用数学方法对世界建模，我们其实还有很多其他方式对世界进行建模。比如说我们可以去判断一下，因为数学这么有用，那数学是最成功的建模方式吗？如果成功指的不是实际效用，而是指它被接受的广泛程度来讲的，那数学可能是位列最糟糕的建模方式之一，因为大多数人不愿接受也不愿使用。那么现在从接受广泛程度上最成功的建模是什么呢？就是十二星座。因此我们通过来这个来分辨一下，不是说建模就一定是一个数学公式，任何简单的分类或者流程的划分都是某种对世界的建模构建。十二星座就是对于人格的一种建模。那类似弗洛伊德的本我自我超我，以及本我自我超我在潜意识和意识层面的这种冰山理论呢，也是对人格的一种建模方式。这两种建模方式之中都没有用到数学的运算知识。当然如果你认为日期的标注啊，比如几月几号，几月几号也算数学啊，这个其实不算的啊。那这两种方式都没有使用数学的运算对世界进行建模。

所以讲到这我想说的是呢，对世界进行建模，用某种方式来理解世界呢，是人的一个本质冲动。我们无论如何都在用各种方式对世界进行建模和构建，而数学呢，只是里面的一种方式，但确实也是时至今日对社会发生最深刻影响，以及时至效用最大的方式。它为什么是这样？与其他的与世界建模方式相比，它有什么样的特征？以及为什么今天它是我们认为最有用的一个方式？就是我们今天这次分享要给出了答案，也是我们做这个横向对比要让大家感受到的一个这样的一个内容吧。

因此如果我们要继续去想啊，对世界建模以及我们构建世界的方式呢，这里完全可以多说几句，它大致经历了这么几个过程。第一个过程呢，是轴心时代，就是公元前600年到300年之前，整个人类认为呢，这个世界是属于神的。当然这样的建模方式直到今天也依然在深刻的影响我们。比如说流行在台湾与福建沿海的妈祖祭祀，以及各种宗教祭祀啊，大概还是这种属于神话的对世界的建模的构建方式。

在这样的建模之中，核心的是禁忌，就是行为的禁忌与行为控制。比如说在妈祖祭祀之中呢，认为被妈祖加持过的压教经是珍贵的平安符，可以保平安收经。就如果索取的压教经呢，你就不能把它放在肚脐以下。另外呢，贴有妈祖符咒的斗笠呢，也不能拿来坐或者压。香气等神圣物呢，也不要带进厕所或者不洁的场所。像这样的宗教禁忌呢，也是我们为世界建模的方式。因此这个世界运行在一种有意志的神的控制之下，凡是愉悦这种神的事情呢，我们就做。凡是不愉悦这个神的事情呢，我们就不做，或者是把它放到一些不高啊，不洁的部位啊等等，我们都不要做。这是一种基础的逻辑，而这种逻辑呢，其实与星座都已经很不一样了。

那第二种就是在轴心时代之后，我们大概就理解了世界是自然的。也就是说并不是某种有意志的神在影响我们，而是自然本身在透过自然的影响力影响我们。那这个时候我们如何将一种日常现象归因于自然呢？我们就在观察这种直观的现象。比如说星座就是这样的一种东西，我们认为出生的时间对于恒星运行的东西啊，在影响这个人的性格啊，命运啊等等的一系列要素。你看我们能理解了，就这个东西呢，已经不是某个神的意志，而是自然的某种既定规律。但在那个年代我们对于自然既定规律的理解呢，还是直观现象，就我们能看到的恒星，我们能看到的季节，风，山川，树，野兽等等的，我们认为这些东西呢，对人的命运呢会有影响。

那再往下或者是同时代，就产发出来另外一种观点，特别是古希腊，这样的观点是最大的。就认为呢是一种超越现象的东西在背后影响着我们。也就是说我们要发现现象背后的规律和构造。那比如弗洛伊德的本我自我超我，就是把人的现象和人对于外界世界的反应，构建出这个现象背后的一套规律。这个规律有两个维度，一个维度是本我自我超我的结构，一个维度呢是潜意识与意识的结构。就这么一套假说呢就更能够令人信服。

比如说到今天，信宗教的人呢少一些，信星座的人虽多，但大多数人呢也是信的这个不是特别的诚心啊，就觉得就是平时玩玩啊，或者说也不会特别特别的在意。就算弗洛伊德的心理学啊已经远不是现代意义上的心理学了。事实上现代意义的心理学被数学化了。我们一会讲到学科的数学化的时候还会拿心理学出来详细讲，就心理学如何被数学化的。那弗洛伊德已经不算是现代科学语境之下的心理学啊，但如果你认可弗洛伊德的观点呢，你大致还是会比信星座更要相信他，你认为这是一种对世界更好的构建方式。

当然数学呢也是这么一种思路，认为世界现象之后呢又有规律。我们透过把握现象之后的规律来为世界建模。那么数字就是认为在世界的现象背后有一种数的规律，或者有一种可运算的规律在背后。因此当我们把握这种可运算的规律之后呢，我们就能够用于解释很多现象，预测很多现象，或者是影响很多东西。

所以说如果我们从属于神的和属于自然的，或者属于自然后的这三个角度来构建，那数学是一种属于自然后的现象背后的规律来把握的。

那我们用一个实际例子来看，对于实际现象数学的建模有一种什么样的结构。比如说当我们意识到自然界有气体之后啊，我们就包括有牛顿力学之后，我们就想知道这个气体是怎么运动的？因为比如水如何流动啊，比如说一个固体或者一个人一个物如何运动呢，它是可以看到的。但气体由于我们凭借肉眼不可见，因此为气体运动建模是一个挺难的事情。

那我们今天绝不深入这个或讲的太细啊，大概呢只是为了把握数学建模的结构。所以说对于气体运动的细节我们说的不太多。但这样的模型最初呢是伯努力构建的。这个伯努力构建的呢，大概他做了这样的前提假设，他认为气体与气体分子之间相互的撞击呢，他不能算，因为他也不知道该怎么去算。在这个基础上呢，他认为气体的运动啊跟这个空间有很大的关系。也就是说当这个空间越小呢，气体的压强越大，动的就越快，当空间越大呢这个气体的粒子越稀疏，运动的就越慢。我们当然知道这是对的啊，这也就是现在气体运动的一个基础。

但是对伯努力来讲有一个很难的一点啊，确实空间越小运动越快，空间越大运动越慢，但是对于气体的初始速度，也就是快慢，你总你总得有个初始的速度，伯努力不知道如何运算。所以这个我们可以看到一个数学建模进一步推进的过程。

进一步推进的这一步呢，是由麦克斯韦完成的。当然我们在上一期量子力学也提到麦克斯韦啊，说明这个人真的很厉害。麦克斯韦就是在电磁那位啊，我们在学习高中物理的时候基本上大体呢倒数第二到第三大大体呢基本上就是属于麦克斯韦的。所以麦克斯韦改造了伯努力的气体运动模型，添加了这样的两个假设。假设在数学模型构建之中相当相当重要。

所以麦克斯韦添加的是哪个两个关于气体运动的假设呢？第一，气体运动是随机的，随机性不随时间而改变。第二，这个随机性在不同的方向上没有区别。当然你可能光这么听的话，你相当相当相当的不知道这个跟气体运动的具体关系，我们今天也不实际的说这个，意思是说呢麦克斯韦提出这两条假设之后呢，把伯努力的方程把伯努力的这个模型啊向前推进一步。对于如何计算一个初始速度呢就变成一种随机性的概率模型，你就听到这就行了。

因此我们知道呢，麦克斯韦改造之后呢，初始速度可算了，初始速度呢服从一个概率分布。这个概率分布我们大家都见过，叫做正态分布。正态分布呢大概就叫做中模型，也就是它像一口大钟一样，中间高两边低。也就是说如果说气体速度呢就气体速度趋近于零的也有可能，但可能性小，就气体速度趋近于光速的呢也有可能，那可能性也微乎其微，就接近于无穷小。那气体速度最大的可能性呢就是要取一个它的中间值。那这就已经相当可算了，第一它能够算中间值，第二能够知道中间值如何服从一个正态分布。如果你对数学以及数学建模有稍微多一点点的了解，你就会知道正态分布是一个多么强大的模型。就是我们生活中的所有事件，如果要算概率分布的话，我认为我这个说的可能没有那么正确，但我认为起码有一半以上都应当服从正态分布。也就是说如果我们要用数学来构建身边一切具有概率特征的东西呢，你基本上你就会看出它服从这个正态分布。那如果你了解正态分布的方程呢，你就知道你大概要算哪几个值，做哪几个假设来算出这个正态分布图形的细节特征。

所以透过麦克斯韦对于伯努力的气体运动的这个模型的构建和推进，我们大概看出一个数学对于实际事情的构建方法。当然如果你听到这你还觉得完全没有把握住，没关系，我们今天一直往后全部在讲这样的东西。我们讲一个数学原理，然后配一个具体例子来看它是如何影响建模的。所以说如果你现在还没有完全明白呢完全没关系，我们可以接着往后来讲。

那么用数学建模还有一个非常重要的特征，就是抽象。也就是说它把具体现实世界的需求实际存在抽象为数学中可运算的部分。那这个与非数学的抽象不太一样，对吧？比如弗洛伊德的本我自我超我的人格理论也是人的行为的某种抽象，但这个抽象并不是抽象为某种数学算符，而是直接抽象成体系之中的一个词汇和概念。我们知道大多数哲学包含大量的抽象，这个抽象呢就是抽象为逻辑链条中的某一个概念。因此哲学家在构建自己的假设理论为世界建模的时候呢，依赖的是原始的逻辑构成和自己新发明出来的概念。比如说康德他发明出的概念先验的后验的，黑格尔发明的一系列概念。我们讲海德格尔的时候你们更清楚，海德格尔发明了无数无数的概念，什么此在啊凡啊本真非本真啊等等等等的。所以说哲学家靠发明出由自然语言构成的概念符合某种逻辑来构成哲学理论。

因此我们会发现它跟数学的区别，就数学依赖新概念比较少，比如点线面，那有了欧基利德的几何之后，我们几何会细讲啊，那都有这些，任何人呢可以依赖这个来构建。那不需要依赖新概念，它看起来呢特别的统一，特别的可对话，特别的可比较，这是数学一个很重要的优势，这个优势呢我们到后面会细讲啊，你们大概知道数学建模一定强调将你需要建模的对象抽象。就比如说这里遇到一个实际的问题，就是著名的地图染色问题。也就是我们知道在我们在印制地图的时候啊，就相邻的两个国家你要选用不同的颜色，因为你选一个颜色的话你不是看不出来了，对吧？所以说这么多国家要用几个颜色才能够来印世界地图呢？但我们现在大概如果你去如果你手边有世界地图，你看的话大概三个颜色四个颜色就够了。那这个东西呢就需要数学运算来算出这个结果。所以你也知道这个东西是非常非常实用的一个构建过程啊。

因此在这里面呢你就是把它构建成点和线一八。每个需要绘色的国家变成一个点，把国家与国家的相邻关系变成点与点之间的线。因此你透过对这个线的运算呢完成这个结果。所以如何运算呢这个大概我们今天不讲，今天如何运算我们大致都不讲，讲证明的时候讲一点点啊，其他大致都不讲。所以你知道它是把国家抽象成点，把国与国的边界接壤抽象成点跟点相连的线。因此它大概的构成一个有很多点有的点相连有的点不相连的这么一个网状图，透过这个图的运算呢来得出到底需要几个颜色。

当然这个就得出了数学史上非常著名的一个数学假说，叫做四色原理。四色原理是说在一个不包含非地的地图中，因为非地什么意思？非地就是说比如俄罗斯，俄罗斯在东欧有块非地，那如果你要表示俄罗斯和它的非地呢，这两块就需要一定用一个颜色对吧？你不可能俄罗斯跟俄罗斯非地用两个颜色，一旦有非地呢我们知道相邻关系变复杂了。就是这个假说是说在没有非地的情况之下至多需要四个颜色就可以完全为地图来做绘色。这个我们都觉得有点怪啊，他说的是任何情况。也就是说我们脑子里可能会想啊，就如果一个国家跟很多国家交错的相邻在一起难道四个颜色就够吗？四个颜色还真够。如果你感兴趣的话呢你可以现在停下来自己在纸上画一画，或者你结束之后在纸上画一画，不管你画的多么复杂四个颜色都足够标识这些国家了。因为比如说有四个国家有三个国家与A国家相邻，只要ABCD吧，就是B跟D它们只要不相邻它们就可以用一个颜色来构成。所以说四个颜色其实都很够很够了。

当然这只是一个假说，这马上引出了我们今天要讲的一个很重要的东西了。我们即使啊对数学都完全不知道呢，你都听说过，比如费尔玛大定理或者哥德巴赫猜想，四色原理就是类似这样的一个假说。那我们知道数学家做一个很重要的事情呢就是要谁证明了费尔玛大定理你就拿很多钱，要谁证明了哥德巴赫猜想呢你也就在数学史上名留轻史。所以说一旦有数学的假说呢就是一道假说的证明。所以我们可以知道或者发现啊证明在数学上呢是个顶重要顶重要的事。但这个事呢我们在哲学或其他领域呢就听得比较少。比如没有谁去证明亚里士多德的某一个假说，或者即使可以证明呢他也不是证出来就完全具有他的有效性与正当性。但似乎证明啊是数学体系之中获得正当性或者被认为是正确的。当然我们之前学数学做的题可能也不是可能啊你一定做过无数的证明题，你大概也有所领会证明是什么样的过程啊。

而这个四色原理呢其实要到1976年才真正证明，而且这个证明过程呢应用了计算机，就是当时的IBM360系计算机来证明了四色原理。就是因为当时使用了计算机来做证明，因此这个证明是不是真有效率在数学家圈子里面还很有争议。很多人认为既然是计算机证出来的就不算是证出来的。所以说到底什么是证明？就是我们今天要分享的第二个课题，就是数学的证明是什么？以及为什么数学证明这么重要？OK我们第二部分分享的就是证明的数学与数学的解释性。

就如果你不是还在高中学习啊，或者你大学毕业之后也没有接触数学，你可能忘了。所以我们先用一个证明来热身，也让大家回忆回忆证明什么样，当然它是很著名的一个证明，我们以前可能都证过，就是证根号二是无理数，当然它也启示了数学证明可能最重要的一个证法就是反证法。如果你还记得的话你可能一下子机器你很多回忆啊之前很多东西都是用反证法证的。所以如何用反证法证根号二为无理数呢，那反证法大概就是我们先假设根号二是有理数，就如果你现在都不记得有理数无理数的话呢，大概有理数能够被写为两个数的分数形式，而无理数不行，无理数不能，比如说三除以二就是个有理数，比如一除以三虽然无限循环了，一点三三三三三三，但也是一个有理数。无理数呢就是不能写作两个数的分数，就不能写作谁除谁就是无理数。

那我们假设根号二是一个有理数啊，那根号二呢就等于P除以Q，我知道有的人在听这个时候可能一听到带等号就放弃了，我不可能听得懂的，别别别，你这个时候还是应该听，因为他你一定能听懂，即使你是纯听你都能听明白，因为他的逻辑过程很简单，我也会把它说的很明白。所以你看我们在正根号二是无理数，所以我们假设它是有理数，那根据有理数的定义呢那根号二就等于P除以Q。那我们现在把等式两边平方，根号二等于P除以Q，那就是二等于P的平方除以Q的平方，就是你看两边平方之后就是二等于P的平方除以Q的平方，到这肯定能跟得上对吧？所以我们把那个Q的平方提过来就是P的平方等于两倍Q的平方，到这你应该都完全能跟得上啊。所以你看P的平方都等于两倍的一个数了，甭管Q的平方等于多少，P的平方都等于两倍这个数呢，那P的平方肯定是偶数，对吧？所以P肯定是偶数，所以说我们现在就得出一个结论P是偶数。

那如果P是偶数呢我们就可以假设P等于2M，比如说P是偶数，M是个自然数，自然数呢就是所有正整数啊，1235690都是自然数，因为P是整数呢就一定可以写成P是某个自然数的2的倍数，对吧？这也是可以说是偶数的定的定义了。所以P等于2M，要记住这个数啊，就P等于2M，马上就一步就正完了。所以你应该能理解现在我们已经得到P是偶数了，而我们把它换算成P等于2M，所以